Mathematical Modelling Group

Department of Mathematics
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering
Czech Technical University in Prague

Ideas for students - Témata pro studenty katedry matematiky

1.Matematické modely transportu směsi uhlovodíků v porézním prostředí

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:doc. Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~mikyska
Stručný popis:Matematické modely vícefázového proudění v porézním prostředí dovolují předpovídat proudění složitých směsí uhlovodíků a dalších chemických látek v podzemí. Uplatnění nacházejí např. při zvyšování výtěžnosti naftových rezervoárů pomocí injektáže vody nebo oxidu uhličitého, nebo v poslední době se velmi aktivně rozvíjející technologii ukládání emisí CO$_2$ do hlubinných geologických uložišť (technologie CCS - Carbon Capture and Storage). Tato problematika je zdrojem mnoha témat, která jsou vhodná pro studenty matematiky A na FJFI. Váš široký profil znalostí získaných během základního studia oceníte při řešení problémů kombinujících znalosti z oblastí matematického modelování, výpočetní dynamiky tekutin, mechaniky kontinua, fyzikální chemie, termodynamiky a chemického inženýrství. KM FJFI v této oblasti spolupracuje s předními světovými pracovišti, zejména v USA - Yale University (New Haven, Connecticut) a Reservoir Engineering Research Institute (Palo Alto, California). Výsledky výzkumu jsou prezentovány v prestižních impaktovaných časopisech a na vědeckých konferencích po celém světě.
PDF

2.Fázové přechody a jejich aplikace v porézním prostředí

Téma:Fázové přechody a termodynamika
Řešitel:doc. Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~mikyska
Stručný popis:Termodynamika fázových přechodů slouží k popisu rovnovážného stavu systému tvořeného čistou látkou nebo směsí více látek za určitých vnějších podmínek (typicky tlak, teplota a chemické složení směsi). Je možno zjistit, zda za daných podmínek bude směs stabilní nebo se rozloží na dvě nebo více fází. To umožňuje popisovat procesy jako vypařování kapalin, kondenzaci plynu, tuhnutí krystalů, stanovovat rozpustnost různých látek v kapalinách, apod. Termodynamika fázových rovnováh má tedy bohaté aplikace ve fyzikální chemii a chemickém inženýrství. V nedávné době jsme se zabývali zejména systémy popsané alternativními proměnnými (např. objem, teplota, složení, nebo objem, vnitřní energie, složení). Daná problematika stále není uzavřena a poskytuje mnoho příležitostí pro studenty FJFI. Určitě využijete své znalosti téměř všech disciplín, se kterými jste se setkali v prvních dvou letech studia. KM FJFI v této oblasti spolupracuje s předními světovými pracovišti, zejména v USA - Yale University (New Haven, Connecticut) a Reservoir Engineering Research Institute (Palo Alto, California). Výsledky výzkumu jsou prezentovány v prestižních impaktovaných časopisech a na vědeckých konferencích po celém světě.
PDF

3.Matematický model fibrilace srdce

Téma:Matematický model fibrilace srdce
Řešitel:prof. Dr. Ing. Michal Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
Stručný popis:Téma je zaměřeno na studium reakčně - difuzních rovnic popisujících šíření elektrického signálu v excitovatelném prostředí stěn srdečních komor. Heterogenity tototo prostředí způsobené poškozením stěn mohou způsobit vznik spirálových vln vedoucích k srdeční fibrilaci. Obsahem práce je prozkoumání matematických vlastností těchto rovnic, jejich numerické řešení v heterogenním prostředí a posouzení získaných výsledků v medicínckém kontextu. Motivací pro téma je spolupráce v oblasti cardio-MRI S IKEM Praha.
PDF

4.Matematický model zamrzání porézního prostředí

Téma:Matematický model zamrzání porézního prostředí
Řešitel:Ing. Alexandr Žák a prof. Dr. Ing. Michal Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
Stručný popis:Téma zkoumá chování porézního prostředí zaplněného vodou zamrzající nebo tající v jeho pórech.Protože voda má větší hustotu než led, dochází při této fázové změně rozpínání porézního prostředí.
PDF

5.Geometrické metody zpracování obrazu

Téma:Geometrické metody zpracování obrazu
Řešitel:prof. Dr. Ing. Michal Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
Stručný popis:Obsahem tématu je vývoj pokročilých algoritmů realizujících vybrané úlohy zpracování obrazových dat (odstraňování šumu, detekce hran, obnovení a dokreslování obrazců, transformace a klasifikace obrazu), které využívají celou škálu vlastností procesů nelineární řízené difuze. Jedná se vlastně o pohyb křivek v obrazu řízený spádem signálu. Vyvíjené algoritmy mají svůj původ v numerickém řešení úloh nelineární difuze popsaných nelineárními parciálními diferenciálními rovnicemi degenerovaného parabolického typu. Budou navrhovány na základě posledních poznatků vývoje metod konečných prvků a konečných objemů. Motivací tématu je spolupráce s oddělením magnetocké rezonance Institutu klinické a experimentální medicíny v Praze.
PDF

6.Hardwarová a softwarová řešení pro vysoce výkonné počítání

Téma:Hardware a software pro HPC systémy
Řešitel:Ing. Pavel Strachota, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:Současné systémy pro vysoce výkonné paralelní počítání (HPC - High Performance Computing) jsou zpravidla tzv. výpočetní svazky (clustery) složené z velkého počtu výpočetních uzlů (compute nodes) spojených rychlou sítí. Data jsou ukládána v úložišti tvořeném diskovými uzly (storage nodes) a optimalizovaném pro paralelní přenos dat. Systém je doplněn přihlašovacími uzly (login nodes) pro interaktivní práci, servery zajišťujícími správu a potřebnými síťovými prvky. Softwarové prostředí pak obsahuje celou řadu komponent, které efektivně a spravedlivě rozdělují výpočetní prostředky uživatelům a umožňují masivně paralelní výpočty. Na FJFI je v provozu cluster Hyperion, který kromě využití pro výpočty umožňuje studentům seznámit se s architekturou HPC systémů a podílet se na jejím rozvoji.
PDF

7.CFD modely komplexních procesů v energetickém průmyslu

Téma:CFD modely komplexních procesů v energetickém průmyslu
Řešitel:Ing. Pavel Strachota, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:MMG spolupracuje s průmyslovými partnery na vývoji matematických modelů a simulačního softwaru pro komplexní procesy, v nichž významnou roli hraje (vícefázové) proudění tekutin. Příkladem je spalování uhlí a biomasy ve fluidních kotlích i v kotlích na práškové palivo. Kromě samotného proudění je nutné modelovat i řadu dalších jevů jako jsou chemické reakce při hoření, produkce a přenos tepla nebo interakce více fází v hořící směsi (plyn, částečky paliva, drcený vápenec). Sestavit výsledné rovnice je obtížný úkol vyžadující dobrou znalost matematiky i inženýrský „cit“. S ohledem na aplikaci výsledků simulací je totiž třeba činit vhodné kompromisy mezi složitostí modelu, úrovní detailů, přesností, výpočetní náročností a dalšími aspekty. Výsledné modely mají víceškálový (multiscale) charakter, který klade vysoké nároky na vlastnosti a efektivitu numerického řešiče. Proto často používáme paralelní implementace pracující na výpočetních clusterech. Výsledné modely je třeba verifikovat (ověřit správnou funkci pomocí standardních testů) a validovat (srovnat výsledky s reálnými naměřenými hodnotami).
PDF

8.Matematické modelování a simulace růstu krystalů

Téma:Matematické modelování a simulace růstu krystalů
Řešitel:Ing. Pavel Strachota, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:Matematické modelování a numerická simulace jsou součástí vývoje a výroby špičkových materiálů na bázi kovů. Matematické modely jsou zde využívány jako efektivní nástroj pro simulaci reálných procesů při výrobě materiálu a optimalizaci výrobního procesu. Mikrostruktura hraje klíčovou roli při zajištění kvality materiálu, na nějž jsou kladeny vysoké požadavky z hlediska mechanické a tepelné odolnosti. Místa se stejnou krystalografickou orientací - zrna - jsou oddělena plochami, na nichž pak zpravidla dochází ke vzniku trhlin a ke zničení součásti. Zdokonalování a objevování metod určených pro tuto oblast má podstatný význam pro růst kvality a produktivity v průmyslové výrobě a při zvyšování konkurenceschopnosti výrobků s vysokým podílem špičkových technologií - v leteckém průmyslu, energetickém strojírenství nebo při výrobě polovodičů.
PDF

9.Techniky procedurálního modelování v počítačové grafice

Téma:Procedurální modelování v počítačové grafice
Řešitel:Ing. Pavel Strachota, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:Řada objektů nebo scén má velmi složitou geometrii, kterou však lze alespoň přibližně popsat relativně jednoduchými formálními pravidly nebo algoritmy. Jako příklad lze uvést rostliny nebo celé ekosystémy (louka, les), hornatý terén, oblaky, rozvlněnou vodní hladinu, města, lidský dav atd. Tyto objekty a scény často mají do jisté míry fraktální povahu. Chceme-li vytvořit jejich počítačový model, je možné analyzovat jejich strukturu a navrhnout algoritmus, který (často s využitím rekurze a náhodnosti) tento model automaticky vygeneruje. Tomuto přístupu se říká procedurální modelování, které obecně má několik fází. V první fázi jde o vygenerování abstraktního popisu objektu (např. strom se skládá z kmenu, větví, listů, květů atd.) s použitím vhodného formalismu (např. formální gramatiky), který se uloží do odpovídající datové struktury. Následně jsou tato data použita pro vytvoření samotné geometrie objektu a k jeho otexturování. Nakonec je objekt vhodným způsobem vizualizován (vyrenderován), případně je dále zpracován v rámci složitější scény.
PDF

10.Matematické modelování perfuze v myokardu

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Radek Fučík, Ph.D. a Ing. Ondřej Polívka
E-mail:
Stránky:http://mmg.fjfi.cvut.cz/~fucik
Stručný popis:Snímkování kontrastní látky v srdci pacienta pomocí magnetické rezonance může pomoci k neinvazivní a včasné indikaci onemocnění srdečního svalu (myokardu). Hledání oblastí s nižším než normálním průtokem krve v myokardu může vést k detekci začínajícího mikrovaskulárního onemocnění. Toto onemocnění je charakteristické v poklesu krevní difuze (perfuze) skrz cévní stěnu do mimobuněčného prostoru myokardu.Vyvíjíme zjednodušený matematický model perfuze v myokardu, který může pomoci k vyhodnocování chování různých kontrastních látek používaných při vyšetřování pacientů. Model může zároveň sloužit k přesnější diagnóze onemocnění srdce, a tím i ke správné identifikaci snížené perfuze v srdci.Experimentální data z magnetické rezonance (MRI) jsou dostupná díky dlouhodobé spolupráci KM FJFI ČVUT v Praze s IKEM Praha.Jedná se o komplexní téma z hlediska porozumění fyzikální podstaty studované problematiky, matematického popisu a implementační stránky s možností využít a zdokonalit stávající softwarová řešení dlouhodobě vyvíjená na Katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze.Téma je vhodné pro studenty bakalářského nebo magisterského oboru MI (MM a MINF) s velkým potenciálem pro následné pokračování v doktorském studiu.
PDF

11.Fraktální geometrie

Téma:Fraktální geometrie
Řešitel:Ing. Petr Pauš, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~pausp
Stručný popis:Fraktální geometrie je samostatná matematická disciplína, zahrnující teorii míry, dimenze, ale také numerickou matematiku a komplexní analýzu. Fraktální geometrie se využívá v mnoha oblastech vědy, namátkou v biologii nebo při výzkumu vlastností materiálů. Umožňuje, na rozdíl od běžné euklidovské geometrie, popisovat a simulovat složité děje a struktury, které se nacházejí v reálném světě. Fraktální geometrie má také významné využití v počítačové grafice, například pro generování krajiny, stromů, rostlin a jiných přírodních úkazů. V praxi je často potřebné správně určit takzvanou fraktální dimenzi zkoumaného objektu, např. struktury lomu v materiálu, složitosti růstu nádoru apod., čímž získáme další důležité informace pro jeho popis.
PDF

12.Numerická simulace dislokační dynamiky

Téma:Dislokační dynamika
Řešitel:Ing. Petr Pauš, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~pausp
Stručný popis:Dislokace jsou definovány jako poruchy nebo chyby v atomové struktuře materiálu a jejichpřítomnost silně ovlivňuje mnohé z vlastností materiálů.Plastická deformace v krystalických pevných látkách se uskutečňuje skrze dislokace.Dislokace jsou čárové poruchy atomové mřížky.Pravidelné uspořádání atomů v mřížce je podél dislokační čáry porušeno.Dislokace může být reprezentována křivkou uzavřenou uvnitř krystalu nebo křivkou končící na povrchu krystalu.Při nízkých teplotách se dislokace může pohybovat pouze podél krystalografických rovin s nejvyšší hustotou atomů (skluzové roviny).Z matematického hlediska můžeme dislokaci popsat jako hladkou uzavřenou či otevřenou rovinnou křivku, která se pohybuje v čase. Jejich pohyb je vždy dvoudimenzionální, jelikož se pohybují ve skluzových rovinách.Teorie dislokací je podrobně rozebrána v dostupné literatuře, nyní je tedy třeba vytvořit vhodný matematický model.
PDF

13.Šíření kontaminantů v porézním prostředí

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Radek Fučík, Ph.D. a Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~fucik
Stručný popis:Matematické modelování dvoufázového nemísivého a nestlačitelného proudění v rigidním heterogenním porézním prostředí nachází uplatnění zejména při těžbě ropy nebo naopak při sanaci starých ekologických zátěží. V modelech dvoufázového proudění (například oleje a vody) předpokládáme, že obě látky tvoří v porézním prostředí kontinuum a proudění každé jednotlivé fáze (látky) je možné popsat pomocí Darcyho zákona. Pro popis vzájemné interakce obou fází a pevého porézního prostředí se používá kapilární tlak, který je definován jako rozdíl tlaku nesmáčivé fáze (oleje) a tlaku smáčivé fáze (vody). Poslední rovnicí k uzavření matematického modelu je rovnice kontinuity jakožto důsledek zákona zachování hmoty. Výsledným matematickým modelem je soustava nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, jejichž analýza a hledání fyzikálně správného řešení vyžadují znalost podstaty interakce tekutých fází s pevným skeletem na nanoskopické, mikroskopické i makroskopické úrovni. Tento mnohoškálový přístup je klíčem k moderním matematickým modelům proudění v porézních prostředí. Výsledky numerických výpočtů simulující laboratorní experimenty jsou porovnány s experimentálními daty získanými díky spolupráci s pracovištěm CESEP, Colorado School of Mines, Golden, Colorado.
PDF

14.Matematické modelování proudění krve v aortě pomocí metody lattice--Boltzmann na GPU

Téma:Interakce tekutin s pevnými tělesy
Řešitel:Ing. Radek Fučík, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://mmg.fjfi.cvut.cz/~fucik
Stručný popis:Předmětem tématu je matematické modelování proudění tekutin (např. krve) a jejich interakce s pevnými nebo elastickými tělesy (např. srdeční chlopní nebo aortálními stěnami) pomocí lattice--Boltzmannovy metody, kterou lze efektivně paralelizovat na GPU.Experimentální data z magnetické rezonance (MRI) jsou dostupná díky dlouhodobé spolupráci KM FJFI ČVUT v Praze s IKEM Praha.Jedná se nesnadné a komplexní téma z hlediska porozumění fyzikální podstaty studované problematiky, matematického popisu a implementační stránky metody v jazyce C++ s využitím platformy CUDA.Téma je vhodné pro studenty bakalářského nebo magisterského oboru MI (MM a MINF) s velkým potenciálem pro následné pokračování v doktorském studiu.
PDF

15.Template Numerical Library

Téma:Vývoj numerické knihovny TNL
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis:TNL (Template Numerical Library) je numerická knihovna vyvíjená na katedře matematiky na FJFI. Cílem je vytvořit nástroj pro jednoduchý vývoj efektivních numerických řešičů pro úlohy z oblasti výpočetní dynamiky tekutin (CFD), porézního prostředí, materiálových věd, zpracování obrazu a zpracování medicínských dat. Simulace prováděné v těchto oblastech jsou výpočetně velmi náročné a je proto důležité umět efektivně využít moderní paralelní architektury jako vícejádrové procesory, akcelerátory GPU (graphical processing unit), Xeon Phi nebo distribuované výpočetní klastry. Knihovna je vyvíjena v jazyce C++ se silným důrazem na využití šablon a metaprogramování. Náplní práce je vývoj a implementace efektivních numerických algoritmů pro výše zmíněné oblasti aplikované matematiky.
PDF

16.Konfigurování rozsáhlých informačních systémů

Téma:Vývoj software pro linux a mainframe
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis:Nejen softwarové aplikace, ale i běžná elektronická zařízení jako mobilní telefony, televizory, ale třeba i automobily nám dnes nabízejí nepřeberné množství funkcí a nastavení. Díky tomu si můžeme tyto produkty nastavit přesně podle svých představ. Nevýhodou je, že každé nastavení, které není úplně triviální vyžaduje provést celou řadu rozhodnutí a často zabere spoustu času. V případě rozsáhlých informačních systémů může být jejich konfiguracve tak složitá, že je k ní potřeba expert s dlouholetou praxí.
PDF

17.Paralelní algoritmy pro modelování atomových jader

Téma:Paralelní algoritmy pro modelování atomových jader
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D., Tomáš Dytrych, Daniel Langr
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis:Přesné modelování struktury atomových jader a jaderných procesů představuje extrémně výpočetně náročnou oblast fyziky na samé hranici jejího současného poznání. Výsledky těchto výpočtů jsou klíčové pro mnoho aplikací v oblastech energetiky, medicíny, astrofyziky nebo částicové fyziky.
PDF