Mathematical Modelling Group

Department of Mathematics
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering
Czech Technical University in Prague

Ideas for students - Témata pro studenty zaměření MM, SI a TS (Matematika A, B)

1.Šíření znečištění v mezní vrstvě atmosféry

Téma:Modelování mezní vrstvy atmosféry
Řešitel:Ing. Petr Bauer
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~bauerp
Stručný popis:Hlavním úkolem je vývoj modelu transportu škodlivin v mezní vrstvě atmosféry a porovnání jeho výsledků s naměřenými daty. Mezní vrstvou atmosféry označujeme její nejnižší vrstvu, kde je proudění výrazně ovlivněno vazkými silami, tedy působením terénu. Problematika proudění v mezní vrstvě atmosféry je komplikovaná, zejména kvůli fenoménu turbulence, který není doposud uceleně fyzikálně popsán. Proudění je ovlivňováno celou řadou aspektů, z nichž většinu lze jen obtížně matematicky vyjádřit, a tak je model oproti realitě vždy zjednodušený. Zajímavými případy jsou modely malých měřítek simulující proudění v městské zástavbě, např. tak zvaný kaňon ulice. Důležitou otázkou je volba vhodných okrajových podmínek včetně volby samotné hranice oblasti, která není pro proudění v otevřené atmosféře přirozeně definována. Vzhledem k velké výpočetní náročnosti je k získání realistických výsledků nutné použít efektivní numerické metody. Problematika tak v sobě skrývá řadu úkolů jako je generování vhodných sítí pro numerický výpočet, implementace efektivních řešičů lineárních soustav, paralelizace a další.
PDF

2.Matematické modelování růstu krystalů

Téma:Dendritické mikrostruktury
Řešitel:Michal Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
Stručný popis: Matematické modelování a numerická simulace jsou součástí vývoje a výroby špičkových materiálů na bázi kovů. Matematické modely jsou zde využívány jako efektivní nástroj pro simulaci reálných procesů při výrobě materiálu a optimalizaci výrobního procesu. Mikrostruktura hraje klíčovou roli při zajištění kvality materiálu, na nějž jsou kladeny vysoké požadavky z hlediska mechanické a tepelné odolnosti. Místa se stejnou krystalografickou orientací - zrna - jsou oddělena plochami, na nichž pak zpravidla dochází ke vzniku trhlin a ke zničení součásti. Zdokonalování a objevování metod určených pro tuto oblast má podstatný význam pro růst kvality a produktivity v průmyslové výrobě a při zvyšování konkurenceschopnosti výrobků s vysokým podílem špičkových technologií v leteckém průmyslu, energetickém strojírenství nebo při výrobě polovodičů.
PDF

3.Paralelní algoritmy pro intenzivní 3D výpočty

Téma:Paralelizace
Řešitel:Michal Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~benes
Stručný popis:Intenzivní výpočty jsou nedílnou součástí simulačních modelů popisujích složité děje probíhající ve třírozměrném prostoru. Efektivní a co nejrychlejší provedení těchto výpočtů je možné pouze s použitím pokročilých algoritmů a paralelizováním ve vhodném prostředí. Na FJFI ČVUT v Praze jsou používány metody paralelizace na systémech s distribuovanou pamětí a metody paralelizace na systémech se sdílenou pamětí. Tyto výpočty je možné provádět na clusteru katedry matematiky, paralelním systému VIC ČVUT v Praze, případně na systémech superpočítačového centra italských univerzit CINECA v Bologni. Intenzivní 3D výpočty jsou prováděny při simulaci chemických reakcí a transportu při spalování uhlí v průmyslových generátorech, dále při simulaci fázových přechodů v krystalických materiálech nebo při počítačovém zpracování dat získaných v zařízeních s magnetickou rezonancí.
PDF

4.Matematický model epitaxního růstu krystalů s elastickými efekty

Téma:Epitaxní růst krystalů
Řešitel:Ing. Hung Hoang Dieu
E-mail:
Stránky:http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~hoangdie
Stručný popis:Epitaxe tenkých vrstev je moderní technologie pro růst krystalů a je využívána zejména ve výrobě kvantových nanostruktur optoelektronických zařízení. Elastické efekty, způsobené rozdílnou velikostí mřížových konstant epitaxní vrstvy a substrátu, mohou významně ovlivnit morfologii materiálů. Tedy pro přesné předpovídání epitaxního růstu krystalů jsou vyžadovány matematické modely, které tyto efekty berou v úvahu. Zde je prezentován model typu phase-field a cílem je návrh a analýza numerických schémat pro daný model. Na tomto tématu realizujeme spolupráci KM s RWTH Aachen.
PDF

5.Proces remodelace kostní tkáně

Téma:Matematické modelování v biologii
Řešitel:Ing. Václav Klika, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~klikavac
Stručný popis:Remodelace kostí je neustále probíhající proces v kostní tkáni, který má za úkol udržovat tkáň živou, ukládát a uvolňovat z kosti minerální látky a přizpůsobovat tvar i hustotu kosti dle jejího používání, tj. dle mechanické stimulace. Porozumění tomuto procesu jednak umožní přesnější diagnózu a návrh léčby nemocí spojené s remodelací (např. osteoporóza, juvenilní Pagetova nemoc, osteopetróza) a dále se též uplatní při návrhu totálních necementovaných endoprotéz kyčelního kloubu.
PDF

6.Dynamika Reakčně-Difuzních rovnic

Téma:Dynamika Reakčně-Difuzních rovnic
Řešitel:Ing. Jan Mach
E-mail:
Stránky:
Stručný popis:Reakčně-difuzní systémy patří do skupiny parciálních diferenciálních rovnic parabolického typu a zahrnují matematické modely popisující různé jevy například v biologii a chemii. Jedním z populárních modelů je GrayůvScottův model. První zmínky o tomto modelu lze nalézt roku 1984. Je to model autokatalytické chemické reakce U+2V -> 3V, V -> P. Numerický model této reakce se vyznačuje pestrou dynamikou. Typickými řešeními jsou putující vlny, replikace a chaotické chování. Tento model řešíme v 1D a 2D pomocí numerických metod založených na metodě konečných prvků a metodě konečných diferencí. V současné době studuje možnost využití nelineární Galerkinovy metody a metody inkrementál- ních proměnných pro numerické řešení tohoto modelu. Níže prezentujeme matematický popis modelu a vybraná numerická řešení.
PDF

7.Matematické modely transportu směsi uhlovodíků v porézním prostředí

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~mikyska
Stručný popis:Matematické modely vícefázového proudění v porézním prostředí dovolují předpovídat proudění složitých směsí uhlovodíků a dalších chemických látek v podzemí. Uplatnění nacházejí např. při zvyšování výtěžnosti naftových rezervoárů pomocí injektáže vody nebo oxidu uhličitého, nebo v poslední době se velmi aktivně rozvíjející technologii ukládání emisí CO2 do hlubinných geologických uložišť (technologie CCS - Carbon Capture and Storage). Tato problematika je zdrojem mnoha témat, která jsou vhodná pro studenty matematiky A na FJFI. Váš široký profil znalostí získaných během základního studia oceníte při řešení problémů kombinujících znalosti z oblastí matematického modelování, výpočetní dynamiky tekutin, mechaniky kontinua, fyzikální chemie, termodynamiky a chemického inženýrství. KM FJFI v této oblasti spolupracuje s předními světovými pracovišti, zejména v USA - Yale University (New Haven, Connecticut) a Reservoir Engineering Research Institute (Palo Alto, California). Výsledky výzkumu jsou prezentovány v prestižních impaktovaných časopisech a na vědeckých konferencích po celém světě.
PDF

8.Numerický model dislokační dynamiky

Téma:Dislokační dynamika
Řešitel:Ing. Vojtěch Minárik, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~minarikv/disdyn/
Stručný popis:Cílem práce je vytvoření matematického modelu popisujícího interakce dislokační křivky a konečného počtu dipolárních smyček. Systém řídících rovnic sestává z nelineární parciální diferenciální rovnice degenerovaného parabolického typu pro parametrizaci dislokační křivky a soustavy obyčejných diferenciálních rovnic pro pohyb dipolárních smyček, které jsou uvažovány jako tuhé objekty. Numerický algoritmus je založen na prostorové diskretizaci parciální diferenciální rovnice pomocí metody plovoucích konečných objemů. Výsledný systém obyčejných diferenciálních rovnic je numericky řešen pomocí Rungeovy-Kuttovy metody čtvrtého řádu. Vytvořený model je použit ke zpracování výpočetních studií kvalitativního charakteru demonstrující aspekty interakce mezi dislokací a dipolární smyčkou a kvantitativního charakteru ukazujícího vliv určitých parametrů modelu na dynamiku interakcí.
PDF

9.Numerické simulace na GPU

Téma:Numerické simulace na GPU
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis: GPU (Graphics processing unit) je specializované zařízení původně určené pro urychlení vykreslování trojrozměrných grafických scén. GPU nejprve nacházela uplatnění hlavně v počítačových hrách, ale také například při vizualizaci vědeckých dat. Zejména jejich přínos pro hráče počítačových her vedl k jejich masovému rozšíření mezi veřejností a s tím souvisejícímu poklesu ceny a velice rychlému vývoji. Díky tomu se GPU stávaly stále více a více univerzální. Velice brzy si někteří vědci uvědomili, že GPU je vlastně silně paralelní výpočetní stroj, který by se dal s výhodou využít i jinde než jen v počítačové grafice - např. ve zpracování signálu a také v numerické matematice. To vedlo ke vzniku GPGPU (General-purpose computing on GPU). V rámci naší skupiny MMG implementujeme na GPU zejména maticové řešiče a algoritmy pro zpracování obrazu.
PDF

10.Vývoj software pro Mainframe

Téma:Vývoj software pro mainframe
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis: Mainframy se vyvinuly z původních sálových počítačů a mají za sebou 40 let vývoje. Dnes je prakticky jediným dodavatelem firma IBM se svou produktovou řadou zSeries. Katedra matematiky FJFI má již několikaletou spolupráci s vývojovým centrem firmy CA, Centre of Excelence, Praha.
PDF

11.Konfigurování rozsáhlých informačních systémů

Téma:Vývoj software pro linux a mainframe
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis:Nejen softwarové aplikace, ale i běžná elektronická zařízení jako mobilní telefony, televizory, ale třeba i automobily nám dnes nabízejí nepřeberné množství funkcí a nastavení. Díky tomu si můžeme tyto produkty nastavit přesně podle svých představ. Nevýhodou je, že každé nastavení, které není úplně triviální vyžaduje provést celou řadu rozhodnutí a často zabere spoustu času. V případě rozsáhlých informačních systémů může být jejich konfiguracve tak složitá, že je k ní potřeba expert s dlouholetou praxí.
PDF

12.Paralelní algoritmy pro modelování atomových jader

Téma:Paralelní algoritmy pro modelování atomových jader
Řešitel:Ing. Tomáš Oberhuber Ph.D., Tomáš Dytrych, Daniel Langr
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~oberhuber
Stručný popis:Přesné modelování struktury atomových jader a jaderných procesů představuje extrémně výpočetně náročnou oblast fyziky na samé hranici jejího současného poznání. Výsledky těchto výpočtů jsou klíčové pro mnoho aplikací v oblastech energetiky, medicíny, astrofyziky nebo částicové fyziky.
PDF

13.Numerická simulace dislokační dynamiky

Téma:Dislokační dynamika
Řešitel:Ing. Petr Pauš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~pausp
Stručný popis:Dislokace jsou definovány jako poruchy nebo chyby v atomové struktuře materiálu a jejich přítomnost silně ovlivňuje mnohé z vlastností materiálů. Plastická deformace v krystalických pevných látkách se uskutečňuje skrze dislokace. Dislokace jsou čárové poruchy atomové mřížky. Pravidelné uspořádání atomů v mřížce je podél dislokační čáry porušeno. Dislokace může být reprezentována křivkou uzavřenou uvnitř krystalu nebo křivkou končící na povrchu krystalu. Při nízkých teplotách se dislokace může pohybovat pouze podél krystalografických rovin s nejvyšší hustotou atomů (skluzové roviny). Z matematického hlediska můžeme dislokaci popsat jako hladkou uzavřenou či otevřenou rovinnou křivku, která se pohybuje v čase. Jejich pohyb je vždy dvoudimenzionální, jelikož se pohybují ve skluzových rovinách. Teorie dislokací je podrobně rozebrána v dostupné literatuře, nyní je tedy třeba vytvořit vhodný matematický model.
PDF

14.Fraktální geometrie

Téma:Fraktální geometrie
Řešitel:Ing. Petr Pauš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~pausp
Stručný popis:Téma je vhodné pro studenty, kteří se zajímají o počítačovou grafiku a programování. Jejich úkolem může být například vytvořit plnohodnotnou aplikaci s grafickým uživatelským rozhraním pro generovaní fraktálních množin, jejich vizualizace (různá obarvování množin, trojrozměrné zobrazení). Dále také praktické využití fraktálů, jako je generovaní trojrozměrných modelů přírodních úkazů (stromy, květiny, povrchy, textury) využitelných v jiných aplikacích (3D Studio, Blender). Součástí tohoto tématu je i studium teoretické stránky fraktální geometrie, studenti mohou zkoumat fraktální dimenzi (Mřížkovou, Hausdorffovu), teorii míry a další.
PDF

15.Modely pro vizualizaci MRI dat založené na PDR

Téma:Aplikace PDR ve vizualizaci a zpracování obrazu
Řešitel:Ing. Pavel Strachota, Ing. Tomáš Oberhuber, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:Matematické modely založené na reakčně-difuzních parciálních diferenciálních rovnicích (PDR) lze úspěšně uplatnit v rozpoznávání obrazu a vědecké vizualizaci. Zde prezentujeme dva způsoby jejich aplikace ve zpracování dat z magnetické rezonance (MRI).
PDF

16.Hardwarová a softwarová řešení pro vysoce výkonné počítání

Téma:Hardware a software pro HPC systémy
Řešitel:Ing. Pavel Strachota
E-mail:
Stránky:http://saint-paul.fjfi.cvut.cz
Stručný popis:Profesionální systémy pro vysoce výkonné paralelní počítání (HPC - High Performance Computing) jsou postaveny na bázi špičkového specializovaného hardware. Typický výpočetní svazek (cluster) sestává z velkého počtu výpočetních uzlů (compute nodes) spojených extrémně rychlou sítí (Infiniband, Myrinet). Výpočetní uzel obvykle obsahuje kromě síťového rozhraní pouze (několik) CPU a operační paměť. Datové úložiště je řešeno samostatně a koncipováno pro paralelní přenos dat. Skládá se opět z mnoha diskových uzlů (storage nodes), na nichž je instalován distribuovaný souborový systém. Celý systém je doplněn přihlašovacími uzly (login nodes), s nimiž jako jedinými uživatel pracuje přímo, a síťovými prvky zajišťujícími bezpečnost. Důležitým specializovaným softwarovým produktem provozovaným na clusteru je kromě ovladače souborových systémů tzv. úlohový systém (batch-queuing system, job scheduler, distributed resource management system), který zajišťuje spravedlivé přidělení prostředků (CPU, paměť) uživatelským úlohám (batch jobs). Dále je třeba nástrojů pro centralizovanou správu clusteru a pro manipulaci se softwarovými moduly (dostupnost více verzí software, které běžně nelze instalovat současně).
PDF

17.Model hoření práškového uhlí v kotli

Téma:Modelování spalování
Řešitel:Ing. Robert Straka
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/
Stručný popis: Cílem práce je vytvoření modelu spalování směsi vzduchu a práškového uhlí pomocí dvou sad Navier-Stokesových rovnic pro plynnou a částicovou fázi, doplněných modely přestupu tepla vedením a radiací. Výsledný systém parciálních diferenciálních rovnic je prostorově diskretizován pomocí Advection Upstream Splitting metody a výsledný systém ODE řešen pomocí Runge-Kuttovy metody 4. řádu. Práce shrnuje chování modelu pro různé způsoby distribuce paliva, odhad numerické konvergence a účinnosti paralelizace výpočtu..
PDF

18.Model růstu bacilů

Téma:Vyšetřování dynamiky reakčně-difuzních rovnic
Řešitel:Ing. Robert Straka
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/
Stručný popis:Z experimentů je známo, že bakteriální druhy Bacillus subtilis prokazují schopnost tvoření různých tvarů kolonií. Tvary jsou základně klasifikovány do pěti typů, v závislosti na hustotě agaru a koncentraci živin. Agar je polymer galaktózy, který se získává z buněčné stěny některých druhů červených řas a chaluh (Sphaerococcus Euchema a Gelidium). Rozpuštěn v horké vodě a následně ochlazen, stává se agar želatinovitý a slouží jako médium pro různé kultury v mikrobiologii. Tvar kolonie se může prudce změnit pouze v závislosti na dvou faktorech, které jsou koncentrace agaru Ca a koncentrace živin Cn. Motivováni experimentálním pozorováním, můžeme předpokládat, že bakterie jsou dvojího typu, jedny aktivní - pohybují se, rostou a dělí se, zatímco druhé neaktivní - nedělají nic.
PDF

19.Chaotické atraktory modelu Brusselátor

Téma:Vyšetřování chaotické dynamiky nelineárních systémů
Řešitel:Ing. Robert Straka
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/
Stručný popis:Reakčně-difuzní modely jsou široce používány pro modelování chemických reakcí, biologických systémů, populační dynamiky a fyziky jaderných reaktorů. Rovnice popisující daný model jsou parabolického typu. V teorii disipativních struktur se jako teoretický příklad nelineární chemické reakce nejčastěji používá reakční schéma Brusselátor. V tomto reakčním schématu přecházejí výchozí látky A a B na reakční produkty D a E za vzniku meziproduktů X a Y. Tato reakce vykazuje bohatou škálu nelineárního chování a to pouze při změně jednoho parametu, jakým je délka reakční nádoby. Cílem práce je prozkoumat různé módy chaotického chování tohoto nelineárního systému.
PDF

20.Dynamický efekt v kapilaritě

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Radek Fučík
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~fucik
Stručný popis: Numerické simulace proudění dvou nemísitelných a nestlačitelných fází v porézním prostředí vyžadují spolehlivé modely závislosti kapilárního tlaku na saturaci. V minulosti bylo navrženo několik takových modelů, které byly založeny na laboratorních experimentech, při nichž byly kapilární tlak a saturace měřeny za rovnovážných podmínek. Zůstává však otevřeným problémem, do jaké míry lze tyto statické modely použít v případě, že dochází k proudění tekutin. Na základě teoretických i empirických metod byly v nedávné době navrženy modely zohledňující tyto dynamické podmínky. Výsledky našich numerických výpočtů simulující laboratorní experimenty jsou porovnány s experimentálními daty získanými díky spolupráci s pracovištěm CESEP, Colorado School of Mines, Golden, Colorado.
PDF

21.Šíření kontaminantů v porézním prostředí

Téma:Proudění a transport v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Radek Fučík, Ing. Jiří Mikyška, Ph.D.
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/~fucik
Stručný popis: Matematické modelování dvoufázového nemísivého a ne\-stla\-čitel\-ného proudění v rigidním heterogenním porézním prostředí nachází uplatnění zejména při těžbě ropy nebo naopak při sanaci starých ekologických zátěží. V modelech dvoufázového proudění (například oleje a vody) předpokládáme, že obě látky tvoří v porézním prostředí kontinuum a proudění každé jednotlivé fáze (látky) je možné popsat pomocí Darcyho zákona. Pro popis vzájemné interakce obou fází a pevého porézního prostředí se používá kapilární tlak, který je definován jako rozdíl tlaku nesmáčivé fáze (oleje) a tlaku smáčivé fáze (vody). Poslední rovnicí k uzavření matematického modelu je rovnice kontinuity jakožto důsledek zákona zachování hmoty. Výsledným matematickým modelem je soustava nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, jejichž analýza a hledání fyzikálně správného řešení vyžadují znalost podstaty interakce tekutých fází s pevným skeletem na nanoskopické, mikroskopické i makroskopické úrovni. Tento mnohoškálový přístup je klíčem k moderním matematickým modelům proudění v porézních prostředí. Výsledky numerických výpočtů simulující laboratorní experimenty jsou porovnány s experimentálními daty získanými díky spolupráci s pracovištěm CESEP, Colorado School of Mines, Golden, Colorado.
PDF

22.Transport koloidů v porézním prostředí

Téma:Transport koloidů v porézním prostředí
Řešitel:Ing. Pavel Beneš
E-mail:
Stránky:http://geraldine.fjfi.cvut.cz/
Stručný popis:Problém, kterým se zabýváme, je transport kolodiních částeček obsažených ve vodě v porézním prostředí. Koloidy jsou malé částečky větší než molekuly, ale zase příliš malé na to aby je bylo možné pozorovat v optickém mikroskopu. Mohou být jak organického původu (např. některé bakterie či viry) tak anorganického (jíl, železo, atd.). Vzhledem k jejich velikosti jsou některé druhy silně přitahovány k povrchu porézního prostředí či jiným látkám prostřednictvím elektrostatických sil (ale i jinými způsoby). Některé koloidní částice jsou silně reaktivní a sprostředkovávají transport kontaminantu v porézním prostředí. V některých případech lze tohoto využít pro čištění porézního prostředí od některých kontaminanů. Aby bylo možné navrhout vhodnou remediační strategii, je nutné pochopit mechanismy jejich transportu a ukládání na povrchu porézního prostředí.
PDF